一(yī)般来说，设函(hán)数(shù)y=f(x)(x∈A)的值(zhí)域是(shì)C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于(yú)x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反(fǎn)函数，记(jì)作y=f-1(x) 。

　　反(fǎn)函(hán)数y=f-1(x)的定义域(yù)、值(zhí)域分别是函数(shù)y=f(x)的值域(yù)、定义域。

　　最具有代表性(xìng)的反函(hán)数就是对数函数与指数函数。

　　函数f(x)与(yǔ)它的反(fǎn)函(hán)数f-1(x)图象关(guān)于直(zhí)线y=x对称；

　　函数及其(qí)反函数的(de)图(tú)形(xíng)关(guān)于直线y=x对称；

　　函(hán)数存在反函数的充(chōng)要条(tiáo)件是，函数的(de)定义(yì)域与(yǔ)值域是一一映射等。

　　反函数性质：函数(shù)f(x)与它的反函数(shù)f-1(x)图象(xiàng)关于直(zhí)线y=x对称；

　　函数及其反(fǎn)函数的图形关于直线y=x对称(chēng)；

　　函(hán)数(shù)存(cún)在反函数的充要条件(jiàn)是，函数的定(dìng)义域与值域是(shì)一一映射的。

　　1、反函数的定义域是原(yuán)函数的值域，反函数(shù)的值(zhí)域(yù)是原函数的定义域。

　　2、互为反(fǎn)函(hán)数的两(liǎng)个函数的图像关于直线y=x对称。

　　3、原(yuán)函数若(ruò)是奇函数，则其反函数为奇函数(shù)。

　　4、若(ruò)函数是单(dān)调函数，则一定有反函(hán)数，且(qiě)反函数的单调(diào)性(xìng)与原函数的一致。

　　5、原函数与反函数(shù)的图像若有交点(diǎn)，则交点一(yī)定在(zài)直线y=x上(shàng)或(huò)关于直线(xiàn)y=x对称出现。

反函数有哪些性(xìng)质

　　性质(zhì)：

　　（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对(duì)称(chēng)；

　　（2）函数(shù)存在反函数的充要条件是，函数的定义域(yù)与值域是(shì)一一映射；

　　（3）一(yī)个函(hán)数与它的(de)反函(hán)数在相应区间(jiān)上单调性一(yī)致；

　　（4）大(dà)部分偶函数(shù)不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数(shù)），则(zé)函(hán)数f(x)是偶函数且有反函(hán)数，其反函数的定义域是{C}，值域为(wèi){0} ）。

　　奇函(hán)数不一(yī)定存(cún)在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以(yǐ)上点即没有反函数。

　　腔神(shén)若一个奇函数存在反函数(shù)，则它的反(fǎn)函数也是奇(qí)森圆穗函(hán)数。

　　（5）一段连续的函数的(de)单调(diào)性在(zài)对应区间内具有一致(zhì)性；

　　（6）严增（减(jiǎn)）的函数一定有严格增(zēng)（减）的(de)反函数；

　　（7）反(fǎn)函(hán)数(shù)是相互的且具有唯(wéi)一性(xìng)；

　　（8）定义域、值域相反(fǎn)对应法则互(hù)逆（三反）；

　　（9）反函数的导数关(guān)系(xì)：如(rú)果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f(y)≠0，那么它的反(fǎn)函数y=f-1(x)在(zài)区间(jiān)S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且(qiě)：

　　（10）y=x的(de)反函数是它(tā)本身。

　　扩(kuò)此卜展(zhǎn)资料：

　　反函数定义：

　　设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。

　　如果对于值域f(D)中(zhōng)的(de)每(měi)一(yī)个(gè)y，在D中(zhōng)有且(qiě)只有(yǒu)一个x使(shǐ)得f(x)=y，则按此对应法则得到了(le)一个定义在f(D)上的函数。

　　并把(bǎ)该函数(shù)称为函数y=f(x)的反函数，记为由该定义可(kě)以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函(hán)数f-1的(de)值域和定(dìng)义域，并且f-1的反(fǎn)函数就是f，也就是说(shuō)，函数f和f-1互(hù)为反函数，即：

　　反函数与原函数的(de)复合函数等(děng)于x，即：

　　习惯上我(wǒ)们用x来(lái)表示自变量(liàng)，用(yòng)y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函(hán)数(shù)通常写成

　　 。

　　例(lì)如，函数  

　　的(de)反函数是  。

　　相对(duì)于(yú)反(fǎn)函(hán)数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接(jiē)函(hán)数。

　　反函数(shù)和直接函(hán)数的图像关于直线y=x对称。

　　这是(shì)因(yīn)为，如果(guǒ)设(a,b)是y=f(x)的图像上(shàng)任意一(yī)点，即b=f(a)。

　　根(gēn)据反(fǎn)函数的定义(yì)，有a=f-1(b)，即点(b,a)在(zài)反函数y=f-1(x)的图(tú)像上(shàng)。

　　而点(a,b)和(b,a)关(guān)于直线y=x对称，由(a,b)的任意性(xìng)可知f和f-1关(guān)于y=x对称。

　　于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于y=x对(duì)称，那么这两个函数互为反函数。

　　这也可以看做是反函数的一个几(jǐ)何定(dìng)义(yì)。

　　在微积分里，f (n)(x)是(shì)用(yòng)来(lái)指f的(de)n次微(wēi)分的。

　　若(ruò)一函数有反函数(shù)，此函数(shù)便称为可逆的（inverti不删前女友的男人能要吗，男人为啥不删前女友ble）。

　　参考资料(liào)：百度百科---反函数

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